今天看了一本叫做 数学女孩 的书。其实里面是关于一些数学科普的内容,翻到其中一页,写到:

角的旋转可以用下面的矩阵来标识

老实讲,我大学线性代数学的不好,很多基本概念都没有理解清楚,所以看到这里,虽然能理解下面矩阵乘法的含义,但是对于上面这个始终没有概念。

于是我去搜了一些资料。

代数的解释

搜到知乎上欧比旺麦格雷戈回答,是这样来解释的。

在直角坐标系画一画就知道了。设点离坐标原点距离r,与x轴夹角,将点绕原点逆时针旋转,旋转之后点的坐标为 。显然与原点距离不变,仍然为r。

显然如下关系成立:整理得到:把上面这两个方程写成矩阵形式:

所以,只要用上面这个矩阵作用在一个矢量(x,y)上,就会得到旋转之后的矢量(x',y')。因此,这个矩阵就代表了把矢量逆时针旋转的旋转操作。 旋转两次当然就是用这个矩阵在矢量上作用两次。当然,也可以直接代入到旋转矩阵里面。结果是一样的:

这算是代数的解释了,通过三角函数来找两个角之间的关系,我觉得也是个解释的方法。

几何的解释

我继续搜索,发现其实这样计算的形式在很多时候被称作线性变换

简单的说:

  1. 向量角度的旋转,可以认为是坐标系的旋转(向量顺时针转90°可以认为是坐标系逆时针旋转了90°)
  2. 坐标系的旋转可以认为是x轴和y轴的变换。对于原坐标系的向量,比如 (3,4),可以表示为 (3i,4j),这里的i,j就是基向量。
  3. 当坐标轴旋转的时候,基向量首先旋转,i = (1,0) j = (0,1);旋转之后 i = (0,1),j = (-1,0)
  4. 新的向量就是
  5. 用矩阵的写法就是

回到最开始

通过基向量变换的思考,我大致理解了矩阵和角度变换的关系。

回到最开始的这个矩阵。

有没有发现

其实就是给x的基向量倾斜了一个角度,而我们上一节说的旋转90度,也刚刚好是这个矩阵角度为在∠90的一个特殊情况。

这里顺便要推荐bilibili上3Blue1Brown字幕组翻译的课程 “线性代数的本质” 。实话讲比课本上看的直观透彻多了。