最近在沉迷一款叫做 euclidea 的游戏,这款游戏简单的说,就是通过尺规作图来构造几何图形,算是一款数学解密游戏。

什么是尺规作图

尺规作图是源于古希腊的数学课题,指在只用圆规和没有刻度的直尺来解决平面几何作图需求。

大家可能比较熟知的反而是尺规作图法不能解决的三个问题:

  1. 化圆为方:求一个正方形边长使其面积与已知圆相等
  2. 三等分角:求一个已知角度的三分之一
  3. 倍立方:求一个立方地棱长,使其体积是已知立方体的二倍

前几年的时候,每年都有不少民科,自称自己找到了解决这三大难题的步骤,然而都是错漏百出,不是忽视了前提就是使用了特殊的工具。

不过这几年少多了,可能这帮人都去研究*永动机*了吧……

最基本的两个步骤

其中一个是画直线,也就是连接两个点,做一条无限长的直线,就像这样:

第二个是通过一个点,画一个圆,半径可以是随便的,也可以是另一个点:

然后就没了,就这两个步骤了。

热身题:根据已有的一条直线,构造一个60度角

这个题非常简单,因为60°角是圆形中最容易构造的角度了,只需要两个圆就可以,像这样:

稍微挑战:做一个圆的内切正方形

这个题思路比较好想,因为已知圆心和圆上一点,可以做一条直径,然后根据这个直径做垂直平分线,就能找到内切正方形的另外两个点。连接之后就是内切正方形了。

精益求精:找到最优解

但是!

这个题难就难在有解题步骤限定上了,我们回顾一下刚才的步骤:

  1. 做直径(1E)
  2. 垂直平分线(3E)
  3. 连接四个点(4E)

加起来一共要用8步,并不是最优解。

怎么优化呢?

还记得刚才做60°角的那两个圆吗?

现在相当于是,已知了上面两个点,要在下面对称的点(这个点目前还是未知的,其实你还不知道)做一个直角。

圆内做直角最快的办法就是找一个直径,直径两端的连接点和端点的夹角就是90°了,观察到这里面点之间的间距除了 R 之外,就是 √3*R 了。

R 构造的圆肯定用不了,因此我们构造一个 √3*R 为半径的圆:

!!!发现了吗,这个圆和基本圆的交点 C 就是我们需要的一个顶点!

接着找一个过 C 的直角。

我们知道 ∠ABC 是60°,∠OCB 是30°,连接 OB。

我多做了几条辅助线,只是为了表达思路:

图中 ∠OBC = 30°,因此 ∠BOC 也是 30°。

因此 ∠CBE = 150°,因为 BC = BE ,所以叫 ∠BCD = 45°。

因此 D 就是正方形的一个顶角。

对称的看另一边,OB 和圆的交点 F,连接 CF,交点 G 就是正方形的另一个顶点了。

最后连接正方形四边,这个作图的方法优势在于直接构造了一个直角,节省了重新连接正方形两个底边的作图工序,最后的完整图是这样的:

一共只需要 7E,就可以完成整个作图步骤了,整整少了 1步 !!

后记

上面摘选了两个有意思的入门级题目,来展示尺规作图的有趣之处,几何学是不是很有意思呢?