最近看了欧几里得所著的《几何原本》，对其中的勾股定理很感兴趣。

《几何原本》中，有五条基本公设：

  1. 从一点向另一点可以引一条直线。
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
  3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
  4. 所有直角都相等。
  5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

通过这些公设，就完成了对于三角形全等、圆内切等等的证明。

那么，几何原本中是怎么证明勾股定理的呢？

勾股定理也叫“毕达哥拉斯定理”，直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方和。

不墨迹了，直接上图：

这张图片使用 https://www.geogebra.org/geometry 生成，一个很好用的在线数学画板。

具体证明方法如下：

  1. 这个图中，三角形ABC是直角三角形，角BAC是直角，图中的三个蓝色正方形是根据ABC三条边作出的正方形。

  2. 三角形BCF面积 = 0.5 * 正方形 ACFG 面积

  3. 三角形ACD面积 = 0.5 * 矩形 JKCD 面积

  4. 因为FC = CA，CD = CB，角ACD = 角FCB（两边一角证三角形全等），所以三角形BCF面积 = 三角形ACD面积

  5. 所以可得 正方形 ACFG面积 = 矩形 JKCD 面积 = AC平方（继续做辅助线，可以推出正方形 ABIH 的面积 = 矩形 BEKJ 面积 = AB平方

  6. 所以 AC平方 + AB平方 = 正方形 BEDC 面积 = BC平方

尽管勾股定理还有很多种证明方法，但在理解欧几里得最初的这个方法之后，仍然为其美感所折服。